Projeto de Cálculo Numérico

Trabalho 12 - SVD e Ajuste por Mínimos Quadrados

1. Introdução

Apresentação

• Slides

Modelar fenômenos reais a partir de dados é uma das tarefas mais importantes da matemática aplicada. Em especial, quando se trata de prever o crescimento de uma população ao longo do tempo, modelos exponenciais se mostram bastante eficazes. Esses modelos, porém, exigem que ajustemos curvas a dados empíricos, um problema classicamente resolvido por métodos de mínimos quadrados.

A Decomposição em Valores Singulares (SVD) é uma ferramenta poderosa da álgebra linear que decompõe uma matriz em três componentes: \(U\), \(\Sigma\) e \(V^T\). Essa decomposição não só fornece informações importantes sobre a matriz, como seu posto e condicionamento, mas também oferece uma maneira robusta de resolver sistemas lineares sobredeterminados, como os que surgem no problema de quadrados mínimos.

Este trabalho tem como objetivo aplicar a técnica de (SVD) para resolver um sistema sobredeterminado oriundo do ajuste de uma curva exponencial a dados de crescimento populacional. Utilizaremos o ambiente Julia para realizar os cálculos numéricos.

2. Fundamentação Teórica

2.1 Problema de Quadrados Mínimos Discretos

Dado um sistema linear sobredeterminado \(Ax = b\), onde \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\), com \(m > n\), não há, em geral, uma solução exata. O objetivo do problema de mínimos quadrados é encontrar \(x \in \mathbb{R}^n\) tal que o erro \(\|Ax - b\|_2\) seja minimizado. Essa solução satisfaz as equacões normais:

\(A^T A x = A^T b\)

Entretanto, resolver as equações normais diretamente pode ser numericamente instável. Uma alternativa mais robusta é utilizar a Decomposição em Valores Singulares (SVD).

2.2 Decomposição SVD

A decomposição SVD de uma matriz \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) é dada por:

\(A = U \Sigma V^T\)

onde:

• \(U \in \mathbb{R}^{m \times m}\) é ortogonal (\(U^T U = I\))
• \(V \in \mathbb{R}^{n \times n}\) é ortogonal
• \(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}\) é uma matriz diagonal com os valores singulares \(\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq 0\)

A pseudo-inversa de \(A\) pode ser escrita como:

\(A^+ = V \Sigma^+ U^T\)

onde \(\Sigma^+\) é obtida invertendo os valores singulares distintos de zero e transpondo. A solução de mínimos quadrados é então:

\(x = A^+ b\)

Essa abordagem evita a formação de \(A^T A\) e proporciona maior estabilidade numérica.

3. Metodologia

Queremos ajustar uma função do tipo:

\(P(t) = a e^{b t}\)

Tomando logaritmo natural em ambos os lados:

\(\ln P(t) = \ln a + b t \Rightarrow y = c_0 + c_1 t\)

Dessa forma, podemos usar regressão linear para estimar \(c_0 = \ln a\) e \(c_1 = b\).

3.1 Implementação em Julia

using LinearAlgebra, Plots

# Dados de crescimento populacional
anos = [2000, 2005, 2010, 2015, 2020]
pop = [1000, 1200, 1500, 1900, 2500]

# Normaliza o tempo e aplica log nos dados
t = anos .- minimum(anos)
y = log.(pop)

# Monta o sistema Ax = y
A = [ones(length(t)) t]

# Decomposição SVD
U, S, Vt = svd(A)

# Cálculo da pseudo-inversa
Σ⁺ = Diagonal([1/s for s in S])
x = Vt' * Σ⁺ * U' * y
c0, c1 = x

# Recupera parâmetros a e b
a = exp(c0)
b = c1

4. Resultados

A função ajustada foi:

\[P(t) = $(round(a, digits=2)) \cdot e^{ $(round(b, digits=4)) t }\]

Vamos comparar os valores reais e os ajustados:

p_estimado = a .* exp.(b .* t)

plot(anos, pop, label="Dados reais", marker=:circle, lw=2)
plot!(anos, p_estimado, label="Ajuste exponencial (SVD)", lw=2, linestyle=:dash)
xlabel!("Ano")
ylabel!("População (milhares)")
title!("Ajuste de Crescimento Populacional via SVD")

5. Conclusão

O presente trabalho demonstrou como a decomposição em valores singulares (SVD) pode ser aplicada com sucesso na resolução de problemas de ajustes de curvas, em particular na modelagem de crescimento populacional. A transformação logarítmica da equação exponencial permitiu utilizar uma abordagem linear, e a aplicação da SVD garantiu uma solução estável e precisa mesmo em um sistema sobredeterminado.

A abordagem proposta é especialmente útil quando se deseja evitar problemas numéricos associados à inversão direta de matrizes. O uso da linguagem Julia se mostrou eficiente tanto em desempenho quanto em clareza.

6. Referências Bibliográficas

• Anton, H., & Rorres, C. (2010). Algebra Linear com Aplicações. Bookman.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
• Trefethen, L. N. & Bau III, D. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM.